Invité par les principaux festivals français et étrangers, Olivier Baumont se produit ainsi dans de nombreux pays : Allemagne, Autriche, Belgique, Biélorussie, Brésil, Canada, Croatie, Espagne, États-Unis, Grande-Bretagne, Hongrie, Italie, Japon, Pays-Bas, Portugal, République tchèque, Russie, Slovénie, Suisse, Turquie… À la rentrée 2019, il prend, avec Rosana Lanzelotte, la direction d'un nouveau Festival à Rio de Janiero initié par l'Ambassade de France : BAROQUE IN RIO.
En outre, il participe et initie régulièrement un grand nombre d’émissions de radio et de télévision (France-Musique, France-Culture, Radio Suisse Romande, BBC, FR3, Muzzik et Mezzo).
Même s’il joue essentiellement en récital, Olivier Baumont est très attaché aux affinités artistiques qui le lient à maints chanteurs et instrumentistes tels que Isabelle Druet, Jean-Paul Fouchécourt, Isabelle Poulenard, Julien Chauvin, Christophe Coin, Christine Plubeau, Hugo Reyne...
Il aime également se produire à deux clavecins, étant aussi lié à beaucoup d’amis clavecinistes tels que Béatrice Martin, Davitt Moroney et de jeunes et brillants collègues tels que Aurélien Delage, Cristiano Gaudio, Jean-Luc Ho, Justin Taylor…
Pour la Cité de la Musique à Paris, il a initié un cycle de 20 concerts consacrés à l'intégrale des pièces pour clavecin de Bach. Cette rencontre internationale unique a eu lieu en Mars 2014 (captation intégrale). Il a participé en Juillet 18 à l'intégrale monumentale des Sonates de Scarlatti pour le Festival de Radio-France Montpellier. Il va collaborer en octobre 2020 à l’intégrale des concerti pour clavecins de Bach dans la saison de Radio-France.
La discographie d'Olivier Baumont, régulièrement saluée par la presse internationale, comprend une cinquantaine d'enregistrements.
Parmi les réalisations les plus importantes, il convient de signaler une intégrale de l’œuvre pour clavecin de J.P Rameau, pour Accord-Universal ; une intégrale F. Couperin ainsi que des disques consacrés à J. S. Bach, G. F. Haendel, H. Purcell ou encore aux compositeurs russes et américains des Lumières, pour le prestigieux label français Erato ; le livre de Noëls de C. Balbastre, l'œuvre complète de L. C. Daquin, ainsi qu’un récital d'œuvres de la fin de l'Ancien régime sur Orgue et Pianoforte organisé, pour la collection Tempéraments Radio-France ; et récemment, un disque « A Madame » consacré à des musiques versaillaises rares, avec Julien Chauvin (violon), pour Aparté ; un disque consacré aux Apothéoses de F. Couperin, avec Béatrice Martin (clavecin), pour NoMadMusic.